G1 = G0 + Zinsen, oder
G1 = G0 + G0*(p / 100%) 

was dasselbe ist wie

G1 = G0 * (1 + p / 100%) .

Mit den Zahlen aus unserem Beispiel wäre das

1.050 EUR = 1.000 EUR + 1.000 EUR * (5 / 100)  oder
1.050 EUR = 1.000 EUR * (1 + 5 / 100)

Nach dem zweiten Jahr sieht es verdächtig ähnlich aus, wenn wir das Guthaben nach 2 Jahren G2 nennen:

G2 = G1 + Zinsen    oder
G2 = G1 + G1 * (p / 100%)

was wiederum dasselbe ist wie

G2 = G1 * (1 + p / 100%)

Jetzt können wir G1 durch die sehr ähnliche Formel oben ersetzen und erhalten:

G2 = G0 * (1 + p / 100%) * (1 + p / 100%) oder
G2 = G0 * (1 + p / 100%) hoch 2

Nach 3 Jahren würden wir auf dieselbe Art die Formel

G3 = G0 * (1 + p / 100%) hoch 3

ableiten. Die Formeln für verschiedene Jahreszahlen unterscheiden sich also nur durch den Exponenten (die "Hochzahl") am Ende. Netterweise ist dieser Exponent immer gleich der Jahreszahl. Das macht die Sache am Ende wieder einfach. Nach n Jahren haben wir also ein Guthaben von

Gn = G0 * (1 + p / 100%) hoch n

Diese Formel vereinfacht sich, wenn wir dem Ausdruck (1 + p / 100%) einen neuen Namen geben. Wir wollen ihn den jährlichen Wachstumsfaktor (Wa) nennen. Die Umrechnung ist leicht: Aus einem Zinssatz von z.B. 4% wird ein Wachstumsfaktor von 1,04 . Aus 12% würden 1,12 als Wachstumsfaktor. Und aus 100%? Richtig: Wa = 2. Wachstumsfaktoren vereinfachen so ziemlich jede Zins- und Renditeberechnung enorm. Deshalb werden wir sie im Verlauf der Serie häufig einsetzen.

Unser Beispiel von vorhin ergibt z.B. einen Wachstumsfaktor von 1.050 EUR / 1.000 EUR = 1,05. Denkt man sich die 1 und das Komma weg, hat man die 5% Zinssatz schon vor sich stehen. Die Berechnung ist mit einem Computer schnell erledigt, schließlich ist nur noch eine Division erforderlich. Aus unserer Zinseszinsformel wird also

Gn = G0   *   Wa hoch n  

Bei n Jahren Laufzeit bilden wir also die n-te Potenz des jährlichen Wachstumsfaktors und multiplizieren das mit dem Startguthaben. Das Ergebnis ist unser Endguthaben. Der Ausdruck "Wa hoch n" schließlich bezeichnet das Gesamtwachstum des Startguthabens. Dieser Wert (W) sagt uns, wievielmal wir das Startguthaben am Ende besitzen.

Nun geht Oma Krause mit 10.000 EUR zur Bank und lässt ihr Geld für 3 Jahre festlegen. Sie bekommt einen Zinssatz von 3,5% pro Jahr und läßt die auflaufenden Zinsen wieder mitverzinsen. Dann kann man das Endguthaben nach 3 Jahren wie folgt berechnen: Der Wachstumsfaktor ist 1,035, die Jahreszahl ist 3 und das Startguthaben ist 10.000 EUR. Unsere Formel sagt uns:

Endguthaben = 10.000 EUR * (1,035 hoch 3)

Der Computer klärt uns auf, dass 1,035 hoch 3 = 1,108718 ist und dann sagt er uns, dass 10.000 * 1,108718 = 11087,18 ist. Oma Krause wird also in 3 Jahren 11.087,18 EUR von ihrer Bank zurückbekommen. Jedenfalls, wenn sie keine Steuern und Gebühren zahlen muss.

Was tun wir nun, wenn wir am Ende einer Einmalanlage unser Geld zurückbekommen, aber noch nicht wissen, welchen jährlichen Zinssatz wir eigentlich erhalten haben? Wir drehen den Spieß, d.h. die Formel, um! Angenommen, wir haben nach 3 Jahren von unserer Bank 1.277 EUR zurückbekommen nachdem wir zu Beginn 1.000 EUR eingezahlt hatten. Auf unsere Formel bezogen lässt sich das so ausdrücken: n = 3, G3 = 1.277 EUR und G0 = 1.000 EUR. Wir suchen zunächst den jährlichen Wachstumsfaktor Wa. Nach unserer Formel oben ist das

Wa = (G3 / G0) hoch (1/n)    oder eben
Wa = (1.277 EUR / 1.000 EUR) hoch 1/3 = 1,0849

Ein scharfer Blick auf diesen Wachstumsfaktor sagt uns: Der jährliche Zinssatz betrug 8,49% .

Erinnern wir uns an die beiden Beispiele mit Finanzierungsschätzen des Bundes aus dem ersten Teil unserer Serie. Da hatten wir einen einjährigen Finanzierungsschatz mit einer Rendite von 3%. Da er genau einjährig war, ist das natürlich auch die jährliche Rendite. Das andere Beispiel betrachtete einen zweijährigen Finanzierungsschatz mit insgesamt 6,5% Rendite. Wir zahlten 939 EUR und bekamen später 1.000 EUR zurück . Das ergibt einen jährlichen Wachstumsfaktor von

Wa = (1.000 EUR / 939 EUR) hoch 1/2 = 1,032

Die jährliche Rendite beträgt also 3,2%. Der zweijährige Finanzierungsschatz hat eine bessere Rendite als der einjährige in unserem Beispiel. Man kann sich das so vorstellen, als hätte man nach einem Jahr Zinsen in Höhe von 30,02 EUR bekommen, und im zweiten Jahr Zinsen in Höhe von 30,98 EUR.

Die vorgestellten Berechnungen kann man so nur vornehmen, wenn man eine einmalige Geldanlage tätigt und später alles auf einmal zurückbekommt. In der Zwischenzeit wird nichts ein- oder ausgezahlt.

Gerade das häufige Ein- oder Auszahlen passiert jedoch im täglichen Leben immer wieder, denn schließlich verwenden wir ja festverzinsliche Anlagen, um Geld zu parken, das wir möglicherweise in ein paar Monaten oder Jahren benötigen und deshalb nicht langfristig in Aktien investieren. Wir werden uns deshalb in den nächsten Folgen anschauen, wie wir in all diesen Fällen die Rendite ermitteln.

Schritt 1: Das 1x1 der Einmalanlagen
Schritt 2: Jährliche Rendite
Schritt 3: Effektiv statt nominal
Schritt 4: Anleihen - ein Beispiel
Schritt 5: Leistet mein Geld dasselbe wie ich?
Schritt 6: Zeitgewichtete Rendite
Schritt 7: Woher kommt der Kontostand?